Berechnen von statisch unbestimmten Systemen
(ME-Beam)

 

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Menü für Zusatz-Applikationen  / Im links erscheinenden Zusatzmenü "ME-BEAM" anwählen

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bei Symbolleiste "FACE ++"

 

Allgemeines

ME-Beam kann zur Berechnung des ebenen, geraden Durchlaufträgers mit abschnittsweisem konstantem EI verwendet werden. Dies bedeutet im Einzelnen:

  • Der Träger darf nicht gekrümmt sein
  • Die einzelnen Abschnitte des Trägers müssen eine konstante Steifigkeit aufweisen (EI)
  • Lasten bzw. Lagerungen liegen in einer Ebene

Diese Einschränkungen resultieren aus dem verwendeten Berechnungsverfahren, wobei man je nach Komplexität des zu berechnenden Systems durch Vereinfachungen trotzdem eine Berechnung durchführen kann. So wäre es z.B. möglich, ein Gesamt-System zuerst in einzelne Systeme zu zerlegen, um diese dann zu berechnen. Ein Träger mit einem nicht konstanten EI könnte man annähernd berechnen, indem man einzelne Abschnitte definiert, welche dann wiederum eine konstante Festigkeit aufweise. Man würde somit einen Steifigkeitsverlauf in einzelnen Stufen annähern:

Nach dem Start von ME-Beam sind noch nicht alle Menüpunkte sofort verfügbar, da zuerst alle notwendigen Eingaben vorliegen müssen, um eine Berechung durchführen zu können. Daher sind nach dem Start lediglich die Menüpunkte "SYSTEMGEOMETRIE", "EINHEITEN" bzw. "EINSTELLUNGEN" verfügbar. Je nach Fortschritt der durchgeführten Eingaben werden weitere Menüpunkte eingeblendet.

 

 

Das Hauptmenü

Die Schaltflächen des Hauptmenüs ermöglichen die folgenden Aktionen:

SYSTEMGEOMETRIE

Definieren des Systems (Trägers) über ein Untermenü. Der Träger wird zunächst in der gesamten Länge erstellt und später bei Bedarf in einzelne Abschnitte unterteilt, um z.B. Streckenlasten aufzubringen. Auch für abschnittweise unterschiedliche EI-Werte müssen Abschnitte verwendet werden.

LASTEN

Aufruf des Untermenüs zur Definition von (vorgegebenen) Lasten. Für das Aufbringen von Lasten müssen diese zunächst auf dem System platziert werden. Danach kann dann die Zuordnung der Größe erfolgen.

LAGER

Hier gelangt man zum Untermenü für das Platzieren der Lager.

BERECHNEN

Diese Schaltfläche ist nur dann aktiv, wenn das System vollständig definiert wurde (Träger, Lasten und Lager wurden festgelegt). Das System wird berechnet, wobei die grafische Ausgabe von W, M, Q bzw. Phi direkt in der Zeichnung erfolgt. Welche Kurven ausgegeben werden sollen kann in der untersten Menüleiste eingestellt werden. Die einzelnen Verläufe können so nach Bedarf ein- bzw. ausgeschaltet werden.

EINHEITEN 

Über das Einheiten-Menü wird festgelegt, welche Einheiten bei der Eingabe von Lasten bzw. bei der Ausgabe von Verläufen verwendet werden sollen. Dieses Menü sollte zuerst aufgerufen werden, um die Einheiten vor der Definition eines Systems festzulegen.

TABELLEN

Im Tabellen-Menü werden die einzelnen Verläufe in einer tabellarischen Form angezeigt. Die einzelnen Stufen, in denen der x-Wert aufgeführt ist, entsprechen der programm-internen Unterteilung des Trägers in einzelne Abschnitte für die Berechnung. Möchte man eine höhere Auflösung erreichen, kann man unter "EINSTELLUNGEN" bei "Ganauigkeit" einen höheren Wert wählen.

PROTOKOLL

Die Berechnung kann in einem separaten Protokoll als Datei ausgegeben werden. Die Struktur der Protokolldatei wird in einem der nachfolgenden Abschnitte erläutert.

 

 

Einheiten festlegen

Vor der ersten Berechnung empfiehlt es sich, dass man im Untermenü "EINHEITEN" die gewünschten Einstellungen für die Einheiten festlegt. Man kann diese mit dem Befehl "EINSTELLUNGEN ALS STANDARD SPEICHERN" bei "EINHEITEN" für die folgenden Sitzungen speichern:

 

 

Träger definieren

Das System kann den ebenen geraden Durchlaufträger mit abschnittsweise konstanter Biegesteifigkeit EI berechnen. Das heißt, dass bei einem Wechsel des Produktes von EI ein neuer Abschnitt definiert werden muss. Vor jeder Berechnung muss jedoch zuerst ein Träger festgelegt werden. Dies geschieht folgendermaßen:

Vom Hauptmenü in das Untermenü "SYSTEMGEOMETRIE" wechseln, dort das Trägersymbol wählen.

Linkes Systemende eingeben (über einen Punkt oder über Koordinaten, z.B. 0,0)
Rechtes Systemende eingeben (über einen Punkt oder über Koordinaten, z.B. 500,0)

Träger mit einem Abschnitt

 

 

Träger unterteilen (Abschnitte erstellen)

Nun ist ein Träger mit einem Abschnitt definiert. Ein Abschnitt kann nur ein Flächenträgheitsmoment, einen E-Modul und einen Randfaserabstand besitzen. Über das Untermenü "ABSCHNITTSWERTE" kann man sich diese Einstellungen betrachten und ändern. Wechselt man von diesem Untermenü wieder zurück in das Menü "SYSTEMGEOMETRIE", so wird man feststellen, dass sich die Farbe des Abschnittes bzw. Des Trägers geändert hat. Die Farbänderung zeigt an, dass der Benutzer die Werte dieses Abschnitts (von dem derzeit nur einer existiert) bereits betrachtet hat. Dies soll eine Hilfe für den Anwender bei der Verwendung mehrerer Abschnitte sein. Somit weiß er, welche Abschnitte schon in bezug auf Ihre Querschnittswerte betrachtet wurden.

Um einen bestehenden Träger nun in einzelne Abschnitte zu unterteilen, wählt man den Befehl "SYSTEMABSCHNITTE" aus dem Menü "SYSTEMGEOMETRIE". Der Ablauf sieht folgendermaßen aus:

Befehl "SYSTEMABSCHNITTE"
Stelle angeben, an der man den Träger teilen möchte (z.B. 200,0)
Weitere Stelle angeben, an der man den Träger teilen möchte (z.B. 350,0)
"ENDE" (ME10-Befehl) wählen

Träger mit drei Abschnitten

So kann man den Träger in beliebig viele Abschnitte unterteilen, bis durch den Befehl "ENDE" der Vorgang abgeschlossen wird.
Die neu entstandenen Abschnitte erben vom Ursprungsabschnitt die eingestellten Querschnittswerte. Die Querschnittswerte der neuen Abschnitte können wie oben beschrieben, verändert werden. Die "STATUSANZEIGE" von "SYSTEMGEOMETRIE" informiert hierbei immer über die aktuelle Systemgeometrie.

 

Abschnittswerte zuordnen

Über den Menüpunkt "ABSCHNITTSWERTE" gelangt man nach der Selektion eines Abschnitts in das Menü zur Vergabe von Steifigkeitswerten an die einzelnen Abschnitte. Der jeweils aktive Abschnitt wird in hellem Orange hervorgehoben, während die bereits über dieses Menü "gesichteten" Abschnitte in grüner Farbe dargestellt werden. Diese Farbgebung soll dem Anwender signalisieren, dass er die Abschnittswerte der grünen Abschnitte zumindest über das unten abgebildete Menü einmal abgerufen hat. Wurden die Steifigkeitswerte von Trägerabschnitten noch nicht "kontrolliert", erscheinen diese Abschnitte in Magenta. Entsprechend wird vor einer Berechnung darauf hingewiesen, dass es noch Abschnitte mit Standard-Werten gibt, welche vom Programm vorgegeben wurden.

 

 

Lasten aufbringen

Über das Hauptmenü gelangt man mit dem Befehl "LASTEN" in das Untermenü für die Belastungen. Dort werden die verschiedensten Arten von Lasten angeboten. Um eine Last auf den Träger aufzubringen, wählt man das gewünschte Symbol (z.B. das einer Einzellast) und platziert es auf dem Träger (über einen Punkt auf dem Träger oder beispielsweise über das Koordinatenpaar 100,0)

Erzeugte Punktlast

Sofort erscheint bei der Last auch die aktuell eingestellte Größe mit der aktuellen Einheit. Die Werte einer Last können folgendermaßen geändert werden:

  • Menüpunkt "BELASTUNGSWERTE ZUORD"
  • Last selektieren (falls mehr als eine vorhanden ist)
  • Werte einstellen (negativer Wert für die Last ergibt Umkehrung der Wirkungsrichtung)
  • Über "ZURÜCK" in das Menü "LASTEN" wechseln

 

Bei den Lasten findet nach der "Sichtung" der Werte auch ein Farbwechsel analog zu dem der Abschnitte statt.

Die Streckenlasten bilden insofern eine Ausnahmen, als dass man diese über einen Abschnitt hinweg definiert. Hier genügt es also einfach den Abschnitt zu selektieren. Möchte man beispielsweise auf den mittleren Abschnitt eine rechteckige Streckenlast aufbringen, genügt es nach dem entsprechenden Symbol in die Nähe des mittleren Abschnittes zu klicken:

Erzeugte Streckenlast über einen Abschnitt definiert

 

 

Lager definieren

Um das zu berechnende System nun zu vervollständigen, müssen noch Lagerungen festgelegt werden. Hierzu wechselt man vom Hauptmenü in das Untermenü "LAGER". Hier stehen einige Arten von Lagerungen zur Verfügung. Lagerungen können folgendermaßen angebracht werden:

Entsprechendes Symbol wählen (z.B. einwertiges Lager)

Stelle am Träger selektieren, an der das Lager sitzen soll (oder ein Koordinatenpaar eingeben, z.B. 50,0)

System mit einem Loslager

Ein weiteres Lager (z.B. zweiwertiges Lager) könnte an der Stelle 450,0 angebracht werden:

System mit einem Loslager und einem Festlager

Es spielt bei ME-Beam keine Rolle, wie viele Lasten und Lager Sie am System anbringen. Das System kann n-fach unbestimmt sein.

 

Die verschiedene Arten von Lagern

Die folgende Tabelle zeigt die zur Verfügung stehenden Lagerungstypen:

festes,gel. Lager

Gelenk

Vertikalführung

Einspannung

Lagerarten

Einspannungen können nur an den Enden des Trägers angebracht werden.

Berechnung durchführen

Nach der Festlegung des Systems kann man mit dem Befehl "BERECHNEN" die Berechnung des Trägers starten (Ausgabe einer Beispielrechnung). ME-Beam kann folgende Berechnungsergebnisse ausgeben:

  • Durchbiegung
  • Momentenverlauf
  • Querkraftverlauf
  • Verlauf des Verdrehwinkels

 

 
 

Ausgabe

Welche Werte gezeichnet werden sollen, kann über das Hauptmenü festgelegt werden:

Das Untermenü "TABELLEN" stellt in tabellarischer Form die berechneten Werte dar. Diese können auch in einem Berechnungsprotokoll ausgegeben werden (Untermenü "PROTOKOLL"). Dessen Format ähnelt dem der ME10-Zeichnungen, wenn sie gespeichert werden ("MI-Format").

Die Struktur der Protokolldatei

Die Protokolldatei ist in 5 Abschnitte (Sections) unterteilt. In Anlehnung an das MI-Format von PE/ME10 wurden dieselben Zeichen als Sektionskenner verwendet, wie bei diesem Dateiformat. Die Struktur der Protokolldatei ist nachfolgend erläutert. Zum besseren Verständnis wurde die folgende Schreibweise verwendet:

  • Bemerkungen sind in runden Klammern "()" eingeschlossen
  • Inhalte sind in spitzen Klammern "<>" angegeben
  • bei Wichtigen Bemerkungen stehen Ausrufezeichen "!" am Satzanfang

Das Protokollformat

#~1 (Sektion 1 / Header)
#~11 (1. Abschnitt von Sektion 1)
<Programmversion>
<Datum und Uhrzeit>
#~12 (2. Abschnitt von Sektion 1 / Verwendete Einheiten)
<Einheiten fuer Punktlasten>
<Einheiten fuer Streckenlasten>
<Einheiten fuer Momente>
<Einheiten fuer Flaechentraegheit>
<Einheiten fuer Spannungen>
<Einheiten fuer Laengen>
<Einheiten fuer Durchbiegung>
|~ (Ende von Sektion 1)
#~2 (Sektion 2 / Balkenabschnitte)
<Anzahl der Abschnitte>
<Systemlaenge>
<Systemwinkel>
#~21 (1. Abschnitt von Sektion 2 / Daten des ersten Abschnittes)
<Beginn> (Bezueglich linkes Systemende)
<Ende>
<Abschnittslaenge>
<E-Modul>
<Flaechentraegheitsmoment>
<max. Randfaserabstand>
#~22 (2. Abschnitt von Sektion 2 )
.
.
.
.
#~2n (n. Abschnitt von Sektion 2)
.
.
.
|~ (Ende von Sektion 2)
#~3 (Sektion 3 / Lasten)
<Anzahl der Lasten>
#~31 (1. Last)
<Lasttyp>
(! bei Punktlasten und Momenten)
<Wert>
<Position>
(! bei Streckenlasten )
<Wert links>
<Wert rechts>
<Beginn>
<Ende>
#~32 (2. Last)
.
.
.
#~3n (n. Last)
|~ (Ende von Sektion 3)
#~4 (Sektion 4 / Lager und Gelenke)
<Anzahl der Lager>
#~41 (1. Lager)
<Lagertyp>
<Position>
#~42 (2. Lager)
.
.
.
#~4n (n. Lager)
.
.
|~ (Ende von Sektion 4)
#~5 (Sektion 5 / Verlaeufe)
#~51 (Verlauf der Durchbiegung in Abhaengigkeit von X)
X1:W1 (Als Feldtrenner dient der Inhalt der Variablen SUP_PROT_SEPARATOR)
X2:W2 (Die Aufloesung kann im Menue "Einstellungen" ueber den Menuepunkt)
X3:W3 ("Genauigkeit" bestimmt werden.)
.
.
.
Xn:Wn
#~52 (Verlauf der Verdrehung in Abhaengigkeit von X)
X1:phi1
X2:phi2
.
.
.
Xn:phin
#~53 (Verlauf des Momentes in Abhaengigkeit von X)
X1:M1
X2:M2
.
.
.
Xn:Mn
#~54 (Verlauf der Querkraft in Abhaengigkeit von X)
X1:Q1
X2:Q2
.
.
.
Xn:Qn
|~ (Ende von Sektion 5)
#~6 (Die Maxima)
#~61 (Maximale Durchbiegung)
<Wert>
<Stelle>
#~62 (Maximale Verdrehung)
<Wert>
<Stelle> (!Nur, wenn kein linearer Abschnitt im Verlauf vorh. ist!)
#~63 (Maximales Moment)
<Wert>
<Stelle> (!Nur, wenn kein linearer Abschnitt im Verlauf vorh. ist!)
#~64 (Maximale Querkraft)
<Wert>
<Stelle> (!Nur, wenn kein linearer Abschnitt im Verlauf vorh. ist!)
|~ (Ende von Sektion 6)
#~7 (Vertikale Lagerreaktionen von links nach rechts)
#~71 (erste Lagerreaktion)
<Lagertyp>
<Wert d. Reaktionskraft>
<Wert d. Reaktionsmomentes> (!Nur wenn Lagertyp Einspannung ist!)
<Stelle>
#~72 (zweite Lagerreaktion)
.
.
.
#~7n (n. Lagerreaktion)
.
.
.
|~ (Ende von Sektion 7)
##~~ (Dateiende)

 

Theorie zu ME-Beam: Das Übertragungsverfahren

Geschichtliches und Hintergründe

Das Übertragungsverfahren in Verbindung mit der Matrizenrechnung wurde in den Jahren 1953 bis 1955 in mehreren zum Teil unabhängigen Arbeiten an der Technischen Hochschule Darmstadt entwickelt. Es ermöglicht die Lösung von Biege-, Stabilitäts- und Schwingungsproblemen im linearen Bereich. Bekannt wurde es unter anderem durch Publikationen von Prof. Dr. Ing. Sigurd Falk und Dipl. Ing. Roland Kersten, wobei diese Lösungsmethode hauptsächlich im Bereich der Baustatik viele Anwender fand und die klassischen Verfahren zur Festigkeitsberechnung ablöste. Dennoch ist dieses Verfahren auch gerade für den Maschinenbau interessant, da dort ebenso Biegungs- bzw. Schwingungsprobleme anzutreffen sind.

Weitere Bezeichnungen des Übertragungsverfahrens lauten Reduktionsverfahren oder auch Verfahren der Übergangsmatrizen.

Das Grundprinzip des Übertragungsverfahrens

Die Bezeichnung "Reduktionsverfahren" sagt schon ein wenig über die Vorgehensweise bei der Lösungsfindung. Unter der Reduktion eines ebenen oder räumlichen Stabwerksystems versteht man den Ersatz diese Systems durch eine Kräfte und Momentensumme. Berücksichtigt man zusätzlich auch die Verschiebungsgrößen, indem man das System der Verschiebungen an einem starren oder elastischen Körper in einem vorgegebenen Reduktionspunkt durch eine Verschiebungs- und (infinitesimale) Verdrehsumme ersetzt, so sind damit jedem Punkt des Tragwerkes je sechs (in der Ebene 3) Kraft- und Verschiebungsgrößen zugeordnet. Diese Größen werden zu einem Zustandsvektor von höchstens zwölf (im Raum) bzw. höchstens sechs (in der Ebene) zusammengefasst.

Beim ebenen, geraden Durchlaufträger sind dies Querkraft, Moment und Normalkraft bzw. Durchbiegung, Verdrehung und Längenänderung. Je eine Kraft- und Verschiebungsgröße bilden ein konjugiertes Paar. So gehört zum Biegemoment M die Verdrehung j und zur Querkraft Q die Durchbiegung w. Betrachtet man nun zwei beliebige Schnittpunkte an einem System, so sind die Zustandsvektoren dieser Punkte durch eine lineare Transformation, also über eine Matrix miteinander verknüpft, sofern man die lineare Theorie zugrunde legt. Die verknüpfende Matrix überträgt gewissermaßen den Zustandsvektor zum nächsten Schnitt am System und wird daher auch Übertragungsmatrix genannt. Das wiederholte Multiplizieren des Zustandsvektors mit der Übertragungsmatrix stellt dann auch schon nahezu das gesamte Verfahren dar. Diese Tatsache zeigt ganz deutlich, dass das Übertragungs- bzw. Reduktionsverfahren geradezu prädestiniert ist für die Rechneranwendung.

Einteilung des Systems in Felder

Um das Übertragungsverfahren anzuwenden, muss der Durchlaufträger in Felder eingeteilt werden, wobei Feldgrenzen dann entstehen, wenn ein z.B. ein Lager oder ein Gelenk bzw. die Einleitung einer Kraft sprunghafte Änderungen einer oder mehrerer Zustandsgrößen hervorrufen. Die Biegesteifigkeit EI wird über der Länge eines Feldes als konstant angenommen. Da man jedoch die Länge der Felder beliebig klein wählen kann, lassen sich mit dem Übertragungsverfahren auch Träger mit stetig veränderlicher Biegesteifigkeit genügend genau berechnen.

Zustandsvektor

Der Zustandsvektor beinhaltet wie bereits erwähnt die sogenannten Zustandsgrößen W, j , M und Q. An seinem "Inhalt" kann die momentane Belastung des System für eine beliebige Stelle am System abgelesen werden. Er zeigt den Zustand des Systems, deshalb auch der Name "Zustandsvektor".

Feldmatrix

Die Feldmatrix beinhaltet alle Einflüsse, die Zustandsgrößen innerhalb eines Feldes erfahren. Die Herleitung dieser Matrix basiert auf der Differentialgleichung der Biegelinie:

Die gezeigten Zusammenhänge führen nach Umformungen die in ausführlich beschrieben worden sind, zu der bereits erwähnten Feldmatrix.

Bei der nebenstehenden Feldmatrix eines beliebigen Feldes i beschreibt die erste Zeile die Einflüsse des Feldes auf die Durchbiegung w, die zweite Zeile die Einflüsse auf die Verdrehung j , die dritte Zeile die Einflüsse auf das Moment M und die vierte Zeile die Einflüsse auf die Querkraft Q. Die fünfte Zeile wird aus mathematischen Gründen hinzugefügt.

Um nun die Einflüsse eines Feldes i auf die Zustandsgrößen an der Stelle i (das ist das rechte Ende des Feldes i) zu übertragen, muss man den Zustandsvektor i-1 mit der Feldmatrix multiplizieren:

Punktmatrix

Während die Feldmatrix die Einflüsse des Feldes und der darauf aufgebrachten Streckenlast berücksichtigt, muss die Punktmatrix die äußeren Einflüsse auf das System berücksichtigen. Dies sind angreifende Lasten, wie z.B. Momente oder Punktlasten. Da diese einen Sprung im jeweiligen Verlauf hervorrufen, hat die Punktmatrix die Aufgabe denselben zu "dokumentieren". Die Zustandsmatrix vor der Multiplikation mit der Punktmatrix beinhaltet dann die Werte vor der Kraft- bzw. Momenteneinleitung und die Zustandsmatrix nach der Multiplikation mit der Punktmatrix.
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